Link za više informacija:
Ćosić M.: Finite Element Analysis of a Pile in Nonlinear Behaviour of Soil, Geotechnical Aspects of Civil Engineering, Soko Banja, Serbia, 2007, pp. 303-310.
Analiza šipa usled dejstva momenta, horizontalne i vertikalne sile predmet su istraživanja mnogih autora koji uvode različite metode i modifikacije istih, u cilju dobijanja što kvalitetnijeg modela ponašanja i veličine statičkih uticaja duž šipa. U zavisnosti od pristupa rešenju problema koriste se analitičke i numeričke metode, pri čemu se kao validni parametri tla koriste rezultati ispitivanja, kao što su statička penetracija i triaksijalni opit. Domen šipa se diskretizira na konačne elemente između kojih se uspostavlja veza sa određenim stepenom krutosti i nosivosti. Realan model šipa i tla se aproksimira zamenjujućim modelom, gde se pri modeliranju šipa koriste linijski konačni elementi (slika 1). Uvodi se momenat nosivosti armirano-betonskog preseka i inicijalna krutost koja se dobija iz krive momenat-rotacija poprečnog preseka. Ova modifikacija uvodi se preko čvorova na krajevima konačnih elemenata, čime se faktički uvodi nelinearno ponašanje u konačnom elemenatu šipa. Da bi se uvela nosivost betonskog preseka duž celog šipa potrebno je diskretizirati šip na dovoljno veliki broj konačnih elemenata, odnosno odabrati odgovarajuću dužinu konačnog elementa. Povećanjem broja konačnih elemenata povećava se i veličina matrice krutosti konačnih elemenata, a time i obim numeričke analize. Smanjenjem broja konačnih elemenata smanjuje se efekat nelinearnog ponašanja.
Slika 1. Model šipa u realnim uslovima i numerički model formiran od konačnih elemenata
Pošto su dimenzije poprečnog preseka šipa male u odnosu na dužinu šipa to se šip modelira jedno-dimenzionalnim konačnim elementima tipa greda. Gredni konačni element ima dva čvora koji su na krajevima konačnog elementa pa se ovakav konačni element klasifikuje kao standardni linijski konačni element. Uvođenjem krutosti i nosivosti između konačnih elemenata šipa koriguje se matrica krutosti grednog konačnog elementa. Faktori korekcije su uglovi rotacije krajeva grednog konačnog elementa usled jediničnog aktiviranja odgovarajućih stepeni slobode čvorova konačnog elementa. Za interpolacione funkcije grednog konačnog elementa sa korigovanim vezama na krajevima konačnog elementa usvajaju se linearne kombinacije L’Hermite-ovih polinoma trećeg stepena. Pošto dijagram momenta duž šipa nije konstantan, to će određeni precesi šipa ostati u domenu linearno-elastičnog ponašanja, dok će se na nekim delovima nastupiti nelinearno ponašanje. Momenat nosivosti armirano-betonskog preseka određuje se na osnovu interakcionih dijagrama, a vrednost inicijalne krutosti poprečnog preseka se određuje iz odnosa momenta i rotacije. Teorijska analiza sleganja pojedinačnog šipa primenom elastičnih rešenja koja se obično zasnivaju na Mindlin-ovom rešenju za silu u elastičnom prostoru ne mogu da obuhvate niz faktora koji karakterišu ponašanje stvarnog šipa u realnom tlu. Aplicirani momenat, horizontalna i vertikalna sila na šip prenose se na tlo preko baze šipa i stabla šipa, odnosno omotača šipa. Sa povećanjem opterećenja povećava se sleganje i ukupna zavisnost obično pokazuje nelinearno ponašanje pri opterećenjima koja izazivaju lom tla. Idealizovana ili pojednostavljena nelinearno-elastična aproksimacija razvoja komponenti sa povećanjem ukupnog opterećenja ukazuje da se nelinearno ponašanje i granična sila, koju prima omotač šipa, ispoljava pri relativno malim sleganjima reda veličine 5-15mm. Tlo se modelira linearno-elastičnim oprugama uz uvođenje nelinearnog ponašanja preko granične sile, odnosno graničnog napona u linijskom osloncu. Dakle, model tla omogućava elastično oslanjanje linijskog oslonca do vrednosti graničnog napona, a zatim se uzima konstantna vrednost tako da je generalni model tla nelinearno-elastičan. Pošto se razmatra opšti slučaj opterećenog šipa, gde su aplicirani momenat savijanja, horizontalna i vertikalna sila, to se uzimaju u obzir komponente krutosti tla upravno na osu šipa Kz i u pravcu ose šipa Kx, komponente graničnog napona upravno na osu šipa Fz i u pravcu ose šipa Fx. Baza šipa se modelira elementom tipa tačkasti oslonac ili oslonac čvora kod koga se uvodi takođe nelinearno ponašanje. Model tla je usvojen na osnovu pretpostavke da je poprečno reaktivno opterećenje r(x) proporcionalno poprečnim pomeranjima v(x) grednog konačnog elementa. Prethodno opisani model važi u domenu linearno-elastičnog ponašanja tla, a što odgovara Winkler-ovom modelu tla. Matrica krutosti grednog konačnog elementa koji je oslonjen na podlogu dobija se kao zbir modifikovane matrice krutosti grednog konačnog elementa i matrice krutosti elastičnog tla. Analiza ponašanja šipa i tla metodom konačnih elemenata u uslovima nelinearnog ponašanja tla izvršava se inkrementalno-iterativnim konceptom pri čemu se celokupno opterećenje, zamenjuje inkrementima opterećenja manjeg intenziteta. Dakle, ukupno nelinearno ponašanje sistema zamenjuje se inkrementalnim konfiguracijama, u kojim se jednačine problema rešavaju za inkrementalno opterećenje. Formulisanje uslova ravnoteže odvija se primenom korigovane Lagrange-ove formulacije. Šip se analzira kroz tri ključne konfiguracije: početne ili startne S, tekuće ili trenutne C i naredne ili sledeće N (slika 2). Korigovana formulacija koristi tekuću C konfiguraciju za referentnu. Granična nosivost bazom šipa uvodi se direktno u proračun metodom konačnih elemenata. Pošto se koriste linijski konačni elementi za modeliranje šipa, to se vrednosti granične nosivosti trenjem po omotaču šipa proračunavaju po jednom dužnom metru šipa.
Slika 2. Početna, tekuća i naredna inkrementalna konfiguracija šipa
Analiza šipa, usled dejstva momenta, horizontalne i vertikalne sile u uslovima nelinearnog ponašanja tla, izvršena je kontrolom inkrementalnog priraštaja opterećenja prema standardnom Newton-Raphson-ovom postupku. Prvo je izvršena linearna statička analiza ne uzimajući u obzir nelinearne parametre za šip i tlo. Zatim je izvršna nelinearna analiza pri čemu se ne uzimaju u obzir uticaji razvoja geometrijske nelinearnosti, i na kraju je izvršena analiza uzimajući u obzir i razvoj geometrijske nelinearnosti. Kao komparacija tri različite analize prikazani su dijagrami horizontalne i vertikalne komponente pomeranja šipa (slika 3), dijagrami normalne, transverzalne sile i momenta savijanja u šipu (slika 4). Komparacijom nelinearnih modela (slika 3) evidentno je da horizontalno pomeranje daje zadovoljavajuće slaganje rezultata, gde na mestu apliciranja opterećenja razlika iznosi 10%, dok se u donjim slojevima tla ova razlika smanjuje. Razlika komponente horizontalnog pomeranja nelinearnih analiza i linearne analize na mestu apliciranja opterećenja iznosi i do 450%. Ovako velika razlika pomeranja posledica je razvoja geometrijske i materijalne nelinearnosti koje se uzimaju u obzir kod modela šipa u uslovima nelinearnog ponašanja tla.
Slika 3. Horizontalno i vertikalno pomeranje šipa
Sva tri modela daju zadovoljavajuće slaganje rezultata normalne sile u šipu (slika 4). Normalna sila u šipu za treći model se redukuje u odnosu na prva dva modela u srednjoj zoni, gde prosečna vrednost redukcije iznosi do 13%. Može se konstatovati da je zakon promene normalne sile u šipu po dubini približno linearan, gde odnos normalne sile na mestu apliciranja opterećenja i na dubini z=10m iznosi 13. Promena transverzalne sile po dubini se razlikuje za nelinearan i linearan model (slika 4). Kod linearnog modela maksimalna vrednost transverzalne sile je na dubini z=2m, dok je kod nelinearnih modela maksimalna transverzalna sila na dubini z=5m. Apsolutne maksimalne vrednosti transverzalne sile za model sa nelinearnim ponašanjem su veće u odnosu na linearan model. Kao izuzetno velika razlika u raspodeli transverzale sile za nelinearan i linearan model, ukazuje se, da za nelinearan model na dubini od približno z=2m transverzalna sila iznosi T=26kN, dok je za linearan model T=-130kN. Dostizanje graničnog momenta nosivosti evidentno je na dubini od z=2.5m Mgr=-600kNm, dok je linearnom analizom dobijena vrednost Mgr=-248.6kNm, tako da je razlika vrednosti 141%. Maksimalna vrednost momenta savijanja primenom linearne analize se dostiže na dubini z=0.5m, gde pri daljem povećanju dubine nastupa redukcija momenta savijanja, tako da pri dubini većoj od polovine dužine šipa momenat menja znak. Kod nelinearne analize za parametar opterećenja 1 znak momenta savijanja je konstantan sa dubinom.
Slika 4. Normalna, transverzalna sila i momenat savijanja u šipu
Inkrementalno-iterativna metoda omogućava inkrementalni priraštaj opterećenja i analizu statičkih uticaja u šipu i reakcije tla. Dakle, opterećenje se deli na određeni broj inkremenata pri čemu parametru 0 odgovara neopterećeno stanje sistema, a parametru 1 odgovara opterećenje od 100% gde je dostignuta vrednost maksimalnog broja inkremenata. Parametar opterećenja je podeljen na deset delova preko kojih se prati raspodela statičkih uticaja u šipu. Na slici 5 prikazana je horizontalna komponenta pomeranja šipa i momenat savijanja za različite parametre opterećenja na određenim dubinama. Na mestu apliciranja opterećenja je najveće pomeranje sa izraženim razvojem nelinearnog ponašanja (slika 5), koje se manifestuje povećanjem deformacija u horizontalnom pravcu što je tipično za sisteme koji omekšavaju. Apliciranjem 30% opterećenja važi zakon linearno elastičnog ponašanja, posle čega pri povećanju opterećenja nastupa nelinearno ponašanje, na mestu apliciranja opterećenja. Omekšanje sistema je posledica dostizanja graničnog momenta nosivosti šipa i granične nosivosti trenjem po omotaču šipa u horizontalnom pravcu. Raspodela momenta savijanja po dubini u zavisnosti od parametra opterećenja (slika 5) generalno ima nelinearan karakter, jedino se pri manjim dubinama uspostavlja linearna zavisnost. Granična nosivost momenta savijanja se dostiže pri 100% apliciranju opterećenja, odnosno parametru opterećenja 1 pri dubini z=2.5m.
Slika 5. Horizontalna pomeranja šipa i momenti savijanja na određenim dubinama z u zavisnosti od parametra opterećenja
Link za više informacija:
Ćosić M.: Finite Element Analysis of a Pile in Nonlinear Behaviour of Soil, Geotechnical Aspects of Civil Engineering, Soko Banja, Serbia, 2007, pp. 303-310.