Analiza stabilnosti vitkog 3D modela šipa u interakciji sa tlom metodom konačnih elemenata

Link za više informacija:

Ćosić M., Folić B., Sedmak S.: Buckling Analysis of 3D Model of Slender Pile in Interaction with Soil Using Finite Element Method, Structural Integrity and Life, Vol. 12, No. 3, 2012. pp. 221-232.

Osnovni problem u analizi ponašanja šipa potiče od prirode opterećenja kojem je isti izložen. Na šip se preko naglavne ploče prenosi aksijalna sila, lateralna sila, momenat savijanja i torzioni momenat. Prenos ovih opterećenja na okolno tlo zavisi od uslova povezivanja šipa i samog tla, a takođe i od same prirode tla. Duž šipa se formira otpor trenjem po omotaču, bočni naponi i torzioni naponi. Tačniji analitički tretman interakcije šip-tlo (SPI – soil-pile interaction) bio bi veoma kompleksan, pa se iz tog razloga u analizama često vrše određene aproksimacije šipa, tla ili dominantnog opterećenja. U slučaju opterećenja najčešće se tretira aksijalno opterećenje šipa kao dominantno, a koje se na tlo prenosi njegovom bazom i omotačem. Generalni modeli mehanizma nosivosti šipa, odnosno elementi koji obezbeđuju nosivost za pojedinačan šip, mogu se razvrstati prema sledećoj formi:

  • nosivost trenjem po omotaču (side resistance) – smičuća otpornost od trenja i kohezije duž šipa,
  • nosivost bazom na vertikalno opterećenje (end bearing) – vertikalna otpornost na pritisak u bazi šipa,
  • nosivost bazom na smicanje (base shear) – horizontalna otpornost na smicanje i kohezija u bazi šipa,
  • bočni pritisak tla (lateral earth pressure) – horizontalna otpornost na bočni pritisak tla, ortogonalno na strane šipa.

Modeliranje interakcije vitki šip-naglavna ploča-tlo sprovedeno je primenom 3D konačnih elemenata, dok se kompletne analize sprovode primenom metode konačnih elemenata (FEM). Pri modeliranju kompleksnog sistema vitki šip-naglavna ploča-tlo posebno se razmatraju faze: predprocesiranja, procesiranja i postprocesiranja. Osnovni aspekti od kojih se polazi u fazi predprocesiranja su aproksimacija i diskretizacija. U procesu aproksimacije razmatrani domen šip-naglavna ploča-tlo se modelira izborom tipa konačnih elemenata, gde se u ovom slučaju koriste trodimenzionalni konačni elementi. Aspekt diskretizacije odnosi se na formiranje mreže konačnih elemenata, odnosno na izbor kvaliteta mreže i kvantiteta konačnih elemenata, što direktno utiče na tačnost rezultata. Sa druge strane, broj konačnih elemenata generisanih u fazi predprocesiranja direktno utiče na vreme potrebno za proračun u fazi procesiranja, a takođe i na vreme potrebno za interpretaciju dobijenih rezultata u fazi postprocesiranja. Bitna svojstva koja karakterišu numerički model šip-naglavna ploča-tlo su:

  • koristi se geometrijski model visokog nivoa tačnosti i preciznosti (idealno odgovara realnom fizičkom modelu),
  • primenjuju se trodimenzionalni konačni elementi za modeliranje domena šip-naglavna ploča-tlo, a za kontaktnu (interface) zonu šip-tlo koriste se elementi veze (link element),
  • aproksimacija konačnim elementima: 3D solid konačni elementi sa 8 čvorova i 24 stepena slobode,
  • diskretizacija konačnim elementima: zona slobodnog polja, prelazna zona i progušćena zona,
  • model tla: jednoslojan, homogen, elastičan, izotropan poluprostor (HEIS) koji leži na čvrstoj podlozi,
  • konturni uslovi za šip: naglavna ploča, kontakt sa tlom po omotaču šipa i veza preko baze sa čvrstom podlogom,
  • konturni uslovi za model tla: osnova i bočne strane.

Prostorni trodimenzionalni solid konačni elementi imaju dominantene sve tri dimenzije. Ovi konačni elementi su i matematički trodimenzionalni jer su razmatranja vezana za koordinatni sistem definisana sa tri ose. Mreža konačnih elemenata se generiše u zatvorenoj oblasti koja definiše domen šip-naglavna ploča-tlo primenom heksaedarskih solid konačnih elemenata, a koji imaju osam čvorova za definisanje pomeranja lociranih u uglovima. Modeliranje kontakta šip-tlo sprovedeno je primenom elemenata veze (link element), odnosno primenom kontaktnih elemenata (gap element) kod koga se definišu posebna svojstva krutosti pri pritisku, a eliminišu naponi zatezanja. Kontaktni element se koristi za modeliranje dodira dve tačke modela, a koga karakterišu dva stanja: aktivno (kontakt je uspostavljen, veoma velika krutost) i neaktivno (kontakt nije uspostavljen, veoma mala krutost). Primenjujući kontaktne elemente u modeliranju prelazne zone šip-tlo, potrebno je primeniti i geometrijski nelinearnu inkrementalno-iterativnu analizu. Usled nelinearnog ponašanja kontaktnog elementa, gde promenu stanja prati velika promena krutosti, mogu se javiti ozbiljne teškoće u obezbeđenju konvergencije nelinearnog rešenja. Na osnovu prethodno definisanih tipova konačnih elemenata i elemenata veze generiše se numerički model, a zatim sprovodi numerička analiza. Međutim, pre iniciranja numeričke analize i faze procesiranja, izvršeno je definisanje svi mogućih tipova nelinearnih analiza u kojima učestvuju elementi veze (slika 1). Domen šipa označen je sa P, domen tla sa S, a domen elemenata veze sa L. Razvoj geometrijske nelinearnosti podrazumeva se za sve analize, dok je razvoj materijalne nelinearnosti označen sa mn, a razvoj materijalne linearnosti sa ml.

Slika 1. Tipovi nelinearnih analiza u kojima učestvuju elementi veze

U slučaju razvoja i geometrijske i materijalne nelinearnosti (tip 4.: Pmn+Lmn+Smn), radi se o potpunoj nelinearnoj analizi, dok u slučaju svih ostalih opcija radi se o parcijalnim nelinearnim analizama. Za potrebe ovog istraživanja i procenu stabilitetne analize šip-naglavna ploča-tlo primenjena je posebna procedura. Prvo se sprovodi geometrijski nelinearna analiza sa razvojem nelinearnih deformacija u kontaktnim elementima veze (tip 7.: Pml+Lmn+Sml) za uticaje aksijalnog opterećenja šipa. Finalna matrica krutosti određena iz ove analize koristi se kao inicijalna matrica krutosti za analizu izvijanja sistema šip-naglavna ploča-tlo. U konkretnom slučaju, opterećenje iz prve analize se ne prenosi u drugu analizu, već se posebno aplicira opterećenje u drugoj analizi. Pošto se modeliranje veze šip-tlo realizuje kontaktnim elementima, tada se koristi Newton-Raphson-ov inkrementalno-iterativni koncept. Prema metodi konačnih elemenata nelinearan problem se formuliše sistemom nelinearnih algebarskih jednačina. Dosledna primena inkrementalnog koncepta u nelinearnoj analizi može da se opiše kao linearizacija u inkrementima, a rešenje kao zbir inkrementalnih linearnih rešenja. Jednačine problema umesto za ukupno opterećenje rešavaju se za niz posebnih inkrementalnih opterećenja. U okviru svakog inkrementa pretpostavlja se da je sistem jednačina linearan. Na taj način rešenje nelinearnog problema se dobija kao zbir niza linearnih (inkrementalnih) rešenja. U čisto inkrementalnom postupku rezidualno opterećenje se dodaje na spoljašnje opterećenje u narednom inkrementu, čime se greška smanjuje, ali ne eliminiše. Najbolji rezultati se postižu ako se kombinuje inkrementalni i iterativni postupak. U prvoj iteraciji pojavljuju se rezidualna opterećenja zbog neispunjavanja uslova ravnoteže. Ako se naredne iteracije realizuju samo sa rezidualnim opterećenjima, uz korekciju tangentne matrice krutosti, postupak može da konvergira uz minimiziranje rezidualnog opterećenja. Opterećenje se deli na niz inkremenata, a u okviru svakog inkrementa sprovode se iteracije, kako bi se izbalansiralo rezidualno opterećenje. Prema prethodno opisanoj proceduri, kao rezultat razvoja geometrijske nelinearnosti sistema i nelinearnosti u elementima veze iz prve analize, dobijaju se korigovane matrica krutosti [Ke,corr] i [Kg,corr]. Dakle, na kraju geometrijski nelinearne analize umesto elastične matrice krutosti sistema [Ke] i geometrijske matrice krutosti sistema [Kg] za proračun globalne stabilnosti sistema se koriste korigovane matrice krutosti [Ke,corr] i [Kg,corr]. Primenom iterativnog postupa određuje se faktor kritičnog opterećenja λ, odnosno broj najnižih pozitivnih i realnih vrednosti faktora kritičnog opterećenja. Maksimalan broj oblika izvijanja sistema jednak je broju stepeni slobode modela koji se sastoji od konačnih elemenata. U inženjerskom smislu najbitnija je najmanja vrednost kritične sile.

Na slici 2a prikazan je vertikalan presek 3D modela šip-naglavna ploča-tlo formiran od solid konačnih elemenata, dok je na slici 2b prikazan detalj veze šip-tlo i zona prelaznih konačnih elemenata. Kompletan 3D model šip-naglavna ploča-tlo generisan je od 7250 solid konačnih elemenata i 980 kontaktnih elemenata veze (slika 3). Maksimalna dužina jedne stranice solid konačnog elementa je 1m, dok je za domen šipa i u zoni oko njega mreža progušćena, tako da je maksimalna dužina jedne stranice solid konačnog elementa 25cm.

Slika 2. 3D model šip-naglavna ploča-tlo formiran od solid konačnih elemenata: vertikalni presek (levo) i detalj veze šip-tlo i zona prelaznih konačnih elemenata (desno)

Slika 3. Kompletan 3D model šip-naglavna ploča-tlo formiran od solid konačnih elemenata

Numeričke analize su sprovedene na generisanom 3D modelu šip-naglavna ploča-tlo formiranom od solid konačnih elemenata za dva tipa modela tla. Prvi model tla je dvoslojni sistem sa donjim slojem koji simulira uticaje stenovite podloge, dok je drugi model tla jednoslojan sistem. Kod dvoslojnog modela tla varirani su parametri za gornji sloj. Parametar dužina je zadržan konstantan tokom svih analiza, tako da je broj generisanih konačnih elemenata za sve modele isti, pri čemu je broj jednačina ravnoteže kompletnog sistema 22226. Parametar koji je takođe variran je modul elastičnosti tla Es. Ukupan broj sprovedenih numeričkih analiza je 80. Merodavna kritična sila izvijanja određena je iz prvog oblika izvinja, pošto su za dati oblik izvijanja dobijane najniže vrednosti faktora kritičnog opterećenja λ. Na slici 4a je prikazan karakterističan prvi oblik izvijanja za L/d=50 i KR=10-6 dvoslojnog sistema, dok je na slici 4b prikazan karakterističan prvi oblik izvijanja za L/d=50 i KR=10-6 jednoslojnog sistema. KR predstavlja odnos krutosti šipa i tla. Oblik izvijenih šipova je formiran iz većeg broja polutalasa, a ne iz jednog uobičajenog sinusnog polutalasa. Ovo je posledica toga što je, u konkretnom slučaju, vrednost krutosti KR veoma niska, tako da je samo 2/3 šipa izloženo izvijanju. Usled veoma niske vrednosti krutosti KR šip prenosi opterećenje i bazom i omotačem. Ovakav princip prenošenja opterećenja važi i za slučaj jednoslojnog i dvoslojnog sistema.

Slika 4. Prvi oblik izvijanja za L/d=50 i KR=10-6: dvoslojni sistem (levo) i jednoslojni sistem (desno)

Na slici 5a je prikazan karakterističan prvi oblik izvijanja za L/d=50 i KR=10-4 dvoslojnog sistema, dok je na slici 5b prikazan karakterističan prvi oblik izvijanja za L/d=50 i KR=10-4 jednoslojnog sistema. U odnosu na prethodnu situaciju, u slučaju dvoslojnog sistema razvijena je forma izvijanja šipa u obliku sinusnog polutalasa, tako da usled više vrednosti krutosti KR šip prenosi opterećenje dominantno bazom, a manje omotačem.

Slika 5. Prvi oblik izvijanja za L/d=50 i KR=10-4: dvoslojni sistem (levo) i jednoslojni sistem (desno)

U cilju određivanja izraza za nivo kritične sile izvijanja 3D modela šip-naglavna ploča-tlo sprovedene su regresione analize. Ukupan broj regresionih analiza iznosi 15. U preliminarnom istraživanju razmatran je veći broj različitih funkcija, kao što su: eksponencijalna, linearna, logaritamska i stepena. Optimalni tip regresione funkcije određen je razmatranjem vrednosti koeficijenta korelacije r2. Veća vrednost koeficijenta korelacije ukazuje na bolje fitovanje numerički određenih vrednosti prema metodi konačnih elemenata i vrednosti regresione analize. Najviše vrednosti koeficijenta korelacije r2 dobijene su za stepenu funkciju, tako da je ova funkcija i primenjena u daljem istraživanju. Na slici 6a su prikazane promene normalizovane vrednosti kritične sile Pcr/PE u funkciji krutosti KR za dvoslojni sistem prema metodi konačnih elemenata, dok su na slici 6b prikazane ove vrednosti određene primenom regresione analize za stepenu funkciju.

Slika 6. Promena normalizovane vrednosti kritične sile Pcr/PE u funkciji krutosti KR za dvoslojni sistem: prema metodi konačnih elemenata (levo) i određeno primenom regresione analize (desno)

Na slici 7a su prikazane promene normalizovane vrednosti kritične sile Pcr/PE u funkciji krutosti KR za jednoslojni sistem prema metodi konačnih elemenata, dok su na slici 7b prikazane ove vrednosti određene primenom regresione analize za stepenu funkciju. Vrednosti na abscisi su date u logaritamskoj razmeri. Evidentno je znatno povećanje normalizovane kritične sile Pcr/PE pri redukciji krutosti KR. Ovo je posledica toga što je modul elastičnosti tla Es inverzno proporcionalan vrednosti krutosti KR. Takođe, evidentni su i realizovani viši nivoi normalizovane vrednosti kritične sile Pcr/PE kod dvoslojnog sistema, u odnosu na jednoslojni sistem. Primenom stepene funkcije za regresione analize moguće je izuzetno dobro opisati zavisnost Pcr/PE od KR, jer je obezbeđena korelacija na veoma visokom nivou.

Slika 7. Promena normalizovane vrednosti kritične sile Pcr/PE u funkciji krutosti KR za jednoslojni sistem: prema metodi konačnih elemenata (levo) i određeno primenom regresione analize (desno)

U poslednjoj fazi istraživanja razmatrana je dužina izvijanja šipa Li u funkciji normalizovane vrednosti kritične sile Pcr/PE, a koje su određene iz regresionih analiza, pri čemu je analogija uspostavljena sa dužinom izvijanja štapova. Na slici 8a su prikazane promene koeficijenta dužine izvijanja β u funkciji krutosti KR za dvoslojni sistem prema metodi konačnih elemenata, dok su na slici 8b prikazane ove vrednosti određene primenom regresione analize za stepenu funkciju. Na slici 9a su prikazane promene koeficijenta dužine izvijanja β u funkciji krutosti KR za jednoslojni sistem prema metodi konačnih elemenata, dok su na slici 9b prikazane ove vrednosti određene primenom regresione analize za stepenu funkciju. Vrednosti na abscisi su date u logaritamskoj razmeri. Realizovane su niže vrednosti koeficijenta dužine izvijanja β kod dvoslojnog sistema, u odnosu na jednoslojni sistem. Ovo je posledica direktne korelacije koeficijenta dužine izvijanja β i normalizovane kritične sile Pcr/PE.

Slika 8. Promena koeficijenta dužine izvijanja β u funkciji krutosti KR za dvoslojni sistem: prema metodi konačnih elemenata (levo) i određeno primenom regresione analize (desno)

Slika 9. Promena koeficijenta dužine izvijanja β u funkciji krutosti KR za jednoslojni sistem: prema metodi konačnih elemenata (levo) i određeno primenom regresione analize (desno)

Link za više informacija:

Ćosić M., Folić B., Sedmak S.: Buckling Analysis of 3D Model of Slender Pile in Interaction with Soil Using Finite Element Method, Structural Integrity and Life, Vol. 12, No. 3, 2012. pp. 221-232.

error: Sadržaj je zaštićen !!!