Link za više informacija:
Ćosić M., Đogo M.: O aspektima modeliranja temeljnog nosača i tla za FEM analizu, GEOREKS 2010, IV regionalni kongres studenata geotehnoloških fakulteta, Vrnjačka Banja, Srbija, 2010, str. 1-10.
Klasični postupci za analizu temeljnog nosača zasnivaju se na tretmanu istog kao statički određen nosač SON, statički neodređen nosač SNN ili elastičan nosač oslonjen na homogen, elastičan i izotropan poluprostor HEIP.
Osnovna pretpostavka od koje se polazi u analizi SON nosača je ravnomerna raspodela reaktivnog opterećenja. Rezultanta svih sila se nalazi u težištu nosača, dok se reaktivno opterećenje dobija iz odnosa rezultante i ukupne dužine nosača.
U slučaju analize SNN nosača primenjuje se metoda sila, tako što se temeljni nosač tretira kao kontinualani pravolinijski nosač na više polja. Broj statičke neodređenosti kod kontinualnog nosača, jednak je broju srednjih oslonaca, odnosno broju krutih uglova. Osnovni sistem se dobija zamenom n krutih uglova zglobovima i ubacivanjem istog broja parova momenata kao statički nepoznatih veličina. Tako se kontinualni nosač svodi na niz prostih greda.
Proračun temeljnog nosača na elastičnoj podlozi zasniva se na rešavanju diferencijalne jednačine. Primenom metode konačnih razlika diferencijalna jednačina se svodi na sistem linearnih algebarskih jednačina. Primenom Bussinesq-ovog rešenja za prostorno stanje napona i deformacija uspostavlja se veza između vektora pomeranja i reaktivnog opterećenja. Zatim se sprovodi razlaganje koncentrisanih sila na sile u čvorovima (reakcije prostih greda), a potom pretvaranje sila u čvorovima u jednako podeljeno opterećenje. Da bi se odredile vrednosti momenata savijanja i transverzalnih sila u presecima nosača, mora se sprovesti numerička integracija reaktivnog opterećenja.
Kao reprezentativni primer razmatran je temeljni nosač opterećen vertikalnim koncentrisanim silama – prikazan na slici 1.
Slika 1. Temeljni nosač opterećen vertikalnim koncentrisanim silama
Na slici 2 prikazani su dijagrami momenata savijanja za SON, SNN i nosač na elastičnoj podlozi.
Slika 2. Dijagrami momenata savijanja za SON, SNN i nosač na elastičnoj podlozi
Razvojem softvera za numeričku analizu konstrukcija metodom konačnih elemenata FEM (Finite Element Method) otvaraju se mogućnosti za realističnije modeliranje temeljnih nosača, tla i prelaznih uslova. Linijski konačni elementi imaju jednu dimenziju (dužina) izraženu u odnosu na dve ostale (širina i visina), pa su, najčešće, primenjivani konačni elementi za modeliranje grednih nosača. Gredni konačni elementi se zasnivaju na primenu Bernoulli-Euler-ove hipoteze o ravnim ortogonalnim presecima, dok se rebro konačni elementi zasnivaju na primeni Timoshenko-ove hipoteze da preseci ostaju ravni, ali ne i upravni na deformabilnu osu temeljnog nosača. Osnovne kinematičke veličine u čvorovima konačnog elementa nosača su generalisana pomeranja i obrtanja.
Aproksimacija temeljnog nosača primenom metode konačnih elemenata se sastoji iz nekoliko koraka:
- Razmatrani nosač pomoću linija, površi ili 3D elemenata deli se na određen broj poddomena konačnih dimenzija. Jedan domen se zove konačni element, a skup domena sistem ili mreža konačnih elemenata.
- Konačni elementi se međusobno povezuju konačnim brojem tačaka (čvorne tačke ili čvorovi).
- Naponsko-deformacijsko stanje u konačnom elementu opisuje se pomoću interpolacionih funkcija i konačnog broja parametara u čvorovima, koje predstavljaju osnovne nepoznate veličine za proračun.
Algoritamski koncept metode konačnih elemenata sastoji se iz:
- diskretizacija (geometrijsko modeliranje temeljnog nosača izborom oblika konačnog elementa – formiranje mreže konačnih elemenata),
- aproksimacija 1 (numeričko modeliranje temeljnog nosača izborom tipa konačnog elementa, matrica krutosti – formiranje sistema konačnih elemenata),
- aproksimacija 2 (numeričko modeliranje konturnih i prelaznih uslova, dejstava, ponašanje nosača i matrijala temeljnog nosača),
- formiranje matrice krutosti sistema konačnih elemenata i vektora opterećenja (formiranje sistema linearnih algebarskih jednačina za nosač),
- izbor metode za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (proračun pomeranja čvorova sistema konačnih elemenata),
- proračun uticaja u čvorovima temeljnog nosača.
Prvi proračunski slučaj, prema metodi konačnih elemenata, jeste kada se temeljni nosač razmatra kao kontinualni nosač (kontinualni temeljni nosač) – slika 3.
Slika 3. Proračunski slučaj – kontinualni temeljni nosač
U tabeli 1 prikazani su momenti savijanja drugog čvora za razmatrane proračunske modele.
Tabela 1. Momenti savijanja drugog čvora za razmatrane proračunske modele prema metodi konačnih elemenata
Na slikama 4-10 prikazani su momenti savijanja drugog čvora za proračunske modele prema metodi konačnih elemenata.
Slika 4. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 1 prema metodi konačnih elemenata
Slika 5. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 2 prema metodi konačnih elemenata
Slika 6. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 3 prema metodi konačnih elemenata
Slika 7. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 4 prema metodi konačnih elemenata
Slika 8. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 5 prema metodi konačnih elemenata
Slika 9. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 6 prema metodi konačnih elemenata
Slika 10. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 7 prema metodi konačnih elemenata
Temeljni nosač, takođe, može se tretirati kao nosač na elastičnoj podlozi uniformne krutosti, s tim što se podloga predstavlja pomoću elastičnih opruga koje su ravnomerno raspodeljene duž ose štapa. Opruge predstavljaju linijski elastični oslonac (Winkler-ovog tipa) sa reakcijama oslonaca kao unutrašnjim silama. Uticaj elastičnih opruga na konačne elemente može da se zameni reaktivnim transverzalnim opterećenjem koje je proporcionalno poprečnim pomeranjima. Matrica krutosti temeljnog nosača koji je oslonjen na elastičnu podlogu jednaka je zbiru konvencionalne matrice krutosti temeljnog nosača i matrice krutosti podloge. Nelinearno ponašanje linijskog oslonca, formiranog od elastičnih opruga modelira se preko granične sile, odnosno nelinarno ponašanje tla se može uvesti u proračun preko granične nosivosti tla. Drugi proračunski slučaj, prema metodi konačnih elemenata, jeste kada se temeljni nosač razmatra kao nosač na elastičnoj podlozi (linijski elastični oslonci) – slika 11.
Slika 11. Proračunski slučaj – nosač na elastičnoj podlozi
U tabeli 2 prikazani su momenti savijanja drugog čvora za razmatrane proračunske modele.
Tabela 2. Momenti savijanja drugog čvora za razmatrane proračunske modele prema metodi konačnih elemenata
Na slikama 12-18 prikazani su momenti savijanja drugog čvora za proračunske modele prema metodi konačnih elemenata.
Slika 12. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 1 prema metodi konačnih elemenata
Slika 13. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 2 prema metodi konačnih elemenata
Slika 14. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 3 prema metodi konačnih elemenata
Slika 15. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 4 prema metodi konačnih elemenata
Slika 16. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 5 prema metodi konačnih elemenata
Slika 17. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 6 prema metodi konačnih elemenata
Slika 18. Momenti savijanja drugog čvora za proračunski model 7 prema metodi konačnih elemenata
Na slici 19 prikazani su momenti savijanja drugog čvora za sve razmatrane proračunske modele prema metodi konačnih elemenata.
Slika 19. Momenti savijanja drugog čvora za sve razmatrane proračunske modele prema metodi konačnih elemenata
Link za više informacija:
Ćosić M., Đogo M.: O aspektima modeliranja temeljnog nosača i tla za FEM analizu, GEOREKS 2010, IV regionalni kongres studenata geotehnoloških fakulteta, Vrnjačka Banja, Srbija, 2010, str. 1-10.